Cómo calcular la probabilidad de acertar una contraseña de cuatro letras con alumnos de sexto de Primaria

Cómo calcular la probabilidad de acertar una contraseña de cuatro letras con alumnos de sexto de Primaria: así llegó la pregunta a mi clase, un martes después del recreo, de boca de Lucas, que había visto en el móvil de su hermano un vídeo sobre un mono escribiendo el Quijote al azar. «¿Eso se puede calcular o se lo inventan?». Se puede calcular, y en sexto lo pueden hacer ellos solos con papel y lápiz.

Esta actividad es para 5.º y 6.º de Primaria (10 a 12 años). Se prepara en cinco minutos y ocupa una sesión de unos 50.

Qué buscamos al calcular la probabilidad de acertar una contraseña de cuatro letras con alumnos de sexto de Primaria

Queremos que descubran, sin que se lo demos hecho, que cuando se encadenan elecciones el número de posibilidades se multiplica, no se suma. Es la idea que hay detrás de los candados de números, de los PIN del móvil y de por qué una contraseña larga es más segura que una corta. Y de paso, que la probabilidad de acertar a ciegas es «una entre todas las posibles».

Qué hace falta

• Folios y lápices. Nada más es imprescindible.
• Tres tarjetas por pareja con las letras A, B y C (vale un folio cortado en tres).
• Si alguien tiene un candado de maleta de tres ruedas, mejor. Si no, se dibuja en la pizarra.

Paso a paso

1. Una contraseña de una letra

Empezamos en pequeño. «Tenemos un teclado con solo tres letras: A, B y C. La contraseña tiene una letra. ¿Cuántas contraseñas distintas hay?». Tres, claro. Si adivino al azar, acierto 1 de cada 3 veces.

2. Dos letras: el árbol

Ahora la contraseña tiene dos letras y se pueden repetir. Por parejas, con las tarjetas, las escriben todas. Aquí conviene pedirles que lo hagan con orden, y en la pizarra dibujamos el diagrama de árbol: de la A salen tres ramas (AA, AB, AC), de la B otras tres y de la C otras tres. Total: 9.

La pregunta clave: «¿Por qué 9 y no 6?». Alguno dirá que 3 + 3. Dejamos que lo comprueben con la lista. Son 3 × 3, porque por cada primera letra hay tres segundas.

3. Tres letras sin escribirlas todas

Con tres letras ya no les dejo escribir la lista entera hasta que alguien se atreve a predecir: 3 × 3 × 3 = 27. Luego una pareja lo comprueba y la clase aplaude o protesta.

4. Pasamos a la vida real

• Un candado de tres ruedas con cifras del 0 al 9: 10 × 10 × 10 = 1.000 combinaciones.
• El PIN de cuatro cifras de un móvil: 10.000.
• Una contraseña de cuatro letras con el abecedario de 26 letras, sin eñe: 26 × 26 × 26 × 26 = 456.976.

La probabilidad de acertar esa contraseña de cuatro letras a la primera es de 1 entre 456.976. Si alguien probara una combinación por segundo, sin parar, tardaría unas 127 horas en recorrerlas todas, más de cinco días. Esto les impresiona mucho más que el número.

5. El mono y el Quijote

Para cerrar volvemos a la pregunta de Lucas. Si un mono pulsa teclas al azar en un teclado de 26 letras, acertar la palabra «hola» es acertar una contraseña de cuatro letras: 1 entre 456.976. Tecleando tres letras por segundo le llevaría de media unas 42 horas.

¿Y el Quijote? Tiene alrededor de 1,7 millones de caracteres. La cuenta es la misma de siempre, 26 multiplicado por sí mismo tantas veces como letras tenga el libro. El resultado es un número de casi dos millones y medio de cifras. Si lo copiáramos en la pizarra a una cifra por segundo, cinco horas al día, necesitaríamos unos 134 días de clase. Solo para escribir el número. Los niños entienden muy bien la conclusión: sí se puede calcular, y el mono no tiene ninguna opción.

Cuando el grupo tiene niveles distintos

• A quien le cuesta: se queda con dos letras y el árbol hecho con las tarjetas encima de la mesa. Que lo toquen. Que muevan las tarjetas y cuenten.
• A quien va rápido: ¿qué pasa si las letras no se pueden repetir? Con A, B y C y dos letras salen 6 (3 × 2). Y otra: ¿cuántas veces más segura es una contraseña de cinco letras que una de cuatro? 26 veces.
• Para hablar en asamblea: ¿por qué el banco nos bloquea la tarjeta tras tres intentos fallidos? Con lo que han calculado, lo razonan solos.

Qué suele salir mal la primera vez

Lo más habitual es que sumen en lugar de multiplicar. Por eso el paso de dos letras se hace con la lista escrita: la lista no engaña. Lo segundo es que olviden que las letras se pueden repetir y no cuenten AA, BB o CC. Lo tercero, que se pierdan con números tan grandes. Para eso está la calculadora del aula, que en este punto sí ayuda: lo importante es la multiplicación, no hacerla a mano.

Para hacerlo en casa

En casa basta con el candado de la maleta o la bici. Que el niño o la niña cuente las ruedas y las cifras de cada rueda, calcule cuántas combinaciones hay y cronometre cuánto tarda en probar diez. Con eso puede estimar cuánto tardaría en abrirlo a ciegas. Suele salir bastante más de lo que espera, y es una conversación estupenda para hablar de contraseñas, de por qué no se comparten y de por qué «1234» es mala idea.

Si queréis ver el vídeo que lo empezó todo, es este corto sobre el mono y el Quijote. Y si algún alumno quiere comprobar el tamaño de la novela, el texto completo está gratis en el Proyecto Gutenberg.