Cuántos caminos hay en una cuadrícula: la actividad de Primaria que explica por qué el GPS no prueba todas las rutas

«¿Cuántos caminos hay en una cuadrícula desde mi casa hasta el cole?» Esa pregunta nos la hizo un alumno de quinto un lunes, después de contarnos que el GPS del coche de su padre les había mandado por una calle que no conocían. Dibujamos su barrio en la pizarra como una cuadrícula de calles, con la casa en una esquina y el colegio en la contraria, y la clase entera empezó a contar caminos con el dedo. A los cinco minutos había tres respuestas distintas y una discusión muy sana.

De ahí salió esta actividad. Se prepara en cinco minutos y sirve de tercero a sexto de Primaria.

Qué buscamos con la actividad

Que el alumnado cuente caminos de forma ordenada, descubra que hay un truco para no contarlos uno a uno y se lleve una idea que les va a acompañar mucho tiempo: hay problemas en los que probar todas las posibilidades no es viable, ni para una persona ni para un ordenador.

Qué hace falta

• Tiza y la pizarra, o tiza en el suelo del patio.
• Papel cuadriculado para cada pareja.
• Lápices de dos colores.

Paso a paso: cuántos caminos hay en una cuadrícula

1. La regla. Para ir de casa al cole solo se puede avanzar: hacia la derecha o hacia abajo, nunca hacia atrás. Así nadie da vueltas infinitas.

2. Empezamos pequeño. Una sola manzana, un cuadrado. Hay dos caminos: derecha y abajo, o abajo y derecha. Lo dibujan en el cuaderno con un color cada uno.

3. Dos por dos manzanas. Aquí ya se lían. Dejamos que cuenten a mano diez minutos. Unos dirán 4, otros 5, otros 6. La respuesta es 6, y merece la pena que la comprueben dibujando los seis.

4. El truco de los vecinos. Ahora escribimos un número en cada cruce: cuántos caminos llegan hasta él. Todos los cruces del borde de arriba y del borde izquierdo valen 1, porque solo se llega en línea recta. Cualquier otro cruce vale lo que vale el de arriba más el de la izquierda, porque a él solo se entra desde esos dos sitios. Con esa suma rellenan la cuadrícula de 2 por 2 y les sale 6 sin dibujar nada.

5. Crecemos. Con el truco, que calculen 3 por 3 manzanas (sale 20) y 4 por 4 (sale 70). Los más rápidos pueden ir a 5 por 5 (252). Si una pareja se atreve con 10 por 10 manzanas, son 184.756 caminos. Estos números tienen nombre, coeficientes binomiales centrales, y están en la enciclopedia de sucesiones OEIS, que es donde los matemáticos guardan las listas de números famosas.

Cuando lo terminan, giramos la pizarra un poco y les enseñamos que los números de la cuadrícula forman el triángulo de Pascal, cada uno la suma de los dos que tiene encima.

Por qué hay tantas rutas posibles entre dos puntos

Esta es la parte que les deja con la boca abierta. Quitamos la regla de solo avanzar: ahora se puede ir en cualquier dirección, con una condición, no pasar dos veces por el mismo cruce. En la cuadrícula de 3 por 3 manzanas, los caminos pasan de 20 a 184. En una de 9 por 9 manzanas, solo avanzando hay 48.620; sin esa regla, más de 41 trillones, un 41 seguido de 18 ceros, según la misma enciclopedia.

Y una ciudad de verdad tiene miles de cruces. Por eso el GPS no prueba todas las rutas: no le daría tiempo ni en mil años. Lo que hace se parece mucho a nuestro truco de los vecinos. En 1956, un matemático holandés, Edsger Dijkstra, pensó un método que va apuntando en cada cruce lo menos que se tarda en llegar hasta él, sin volver a calcular lo que ya sabe. En nuestra actividad sumábamos caminos; Dijkstra se queda con el más corto. La idea de construir la respuesta cruce a cruce es la misma.

Cuando el grupo tiene niveles distintos

• Quien necesita más apoyo trabaja con cuadrículas de 1 por 2 y 2 por 2 dibujando todos los caminos, con un color por camino. Contar dibujando también es matemáticas.
• Quien va rápido prueba cuadrículas rectangulares, por ejemplo 2 por 4, y busca la regla. O pone un charco en un cruce, que no se puede pisar, y recalcula: ese cruce vale 0 y el resto de la suma cambia.
• Para sexto, se puede plantear la pregunta al revés: ¿cuántas manzanas hacen falta para pasar de mil caminos?

La misma idea en casa

Para las familias que nos preguntan cómo seguir: en el camino al colegio, contad cuántas formas distintas habría de hacer el trayecto sin dar marcha atrás. En un plano impreso del barrio, o en uno dibujado en una hoja, se escribe el número en cada esquina con el truco de sumar el de arriba y el de la izquierda. Y otro día, se cambia la ruta de verdad y se comprueba si se tarda más o menos. Diez minutos, un lápiz y ninguna pantalla.